Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{1 + \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 1.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{1 + \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{8^{2}}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{64}}$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{64}{64} + \frac{1}{64}}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{64 + 1}{64}}$

Этап 3.4

Добавим $64$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{65}{64}}$

Этап 3.5

Перепишем $\sqrt{\frac{65}{64}}$ в виде $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{64}}$ .

$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{64}}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{8^{2}}}$

Этап 3.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{65}}{8}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{65}}{8}$

Десятичная форма:

$1.00778221 \dots$