Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 - 4}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 11

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.1.3

Добавим $64$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{65 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.1.4

Вычтем $1$ из $65$ .

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.1.5

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{8}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 1 \cdot 4}}$

Этап 13.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 4}}$

Этап 13.2.3

Добавим $64$ и $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{66 - 4}}$

Этап 13.2.4

Вычтем $4$ из $66$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{8}{\sqrt{62}}$ на $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}} \cdot \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$

Этап 13.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{62}}$ на $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{\sqrt{62} \sqrt{62}}$

Этап 13.4.2

Возведем $\sqrt{62}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} \sqrt{62}}$

Этап 13.4.3

Возведем $\sqrt{62}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} {\sqrt{62}}^{1}}$

Этап 13.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1 + 1}}$

Этап 13.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{2}}$

Этап 13.4.6

Перепишем ${\sqrt{62}}^{2}$ в виде $62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{62}$ в виде $62^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{(62^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{1}}$

Этап 13.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62}$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $8$ и $62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{62}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{62}$

Этап 13.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $62$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 (31)}$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 \cdot 31}$

Этап 13.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Десятичная форма:

$1.01600101 \dots$