Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{6 e^{x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to 8} \frac{e^{x}}{1 + e^{- x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$6 \frac{lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} 1 + e^{- x}}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 1 + e^{- x}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} e^{- x}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + lim_{x \to 8} e^{- x}}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + e^{lim_{x \to 8} - x}}$

Этап 7

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + e^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + e^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + e^{- 8}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + \frac{1}{e^{8}}}$

Этап 9.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$6 \frac{e^{8}}{\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{e^{8}}{\frac{e^{8} + 1}{e^{8}}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 (e^{8} \frac{e^{8}}{e^{8} + 1})$

Этап 9.3

Умножим $e^{8} \frac{e^{8}}{e^{8} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $e^{8}$ и $\frac{e^{8}}{e^{8} + 1}$ .

$6 \frac{e^{8} e^{8}}{e^{8} + 1}$

Этап 9.3.2

Умножим $e^{8}$ на $e^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{e^{8 + 8}}{e^{8} + 1}$

Этап 9.3.2.2

Добавим $8$ и $8$ .

$6 \frac{e^{16}}{e^{8} + 1}$

Этап 9.4

Объединим $6$ и $\frac{e^{16}}{e^{8} + 1}$ .

$\frac{6 e^{16}}{e^{8} + 1}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6 e^{16}}{e^{8} + 1}$

Десятичная форма:

$17879.74993435 \dots$