Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{4} - 5 x^{3} + 12 x^{2} - 72}{7 x^{4} + 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{4} - 5 x^{3} + 12 x^{2} - 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 12 x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 12 x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 12 x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 12 x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 12 x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 7

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 9

Найдем предел $72$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + 3}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{lim_{x \to 8} 7 x^{4} + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 11

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{7 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 12

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} + 12 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 72}{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{3 \cdot 4096 - 5 \cdot 8^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.2

Умножим $3$ на $4096$ .

$\frac{12288 - 5 \cdot 8^{3} + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{12288 - 5 \cdot 512 + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.4

Умножим $- 5$ на $512$ .

$\frac{12288 - 2560 + 12 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{12288 - 2560 + 12 \cdot 64 - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.6

Умножим $12$ на $64$ .

$\frac{12288 - 2560 + 768 - 1 \cdot 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.7

Умножим $- 1$ на $72$ .

$\frac{12288 - 2560 + 768 - 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.8

Вычтем $2560$ из $12288$ .

$\frac{9728 + 768 - 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.9

Добавим $9728$ и $768$ .

$\frac{10496 - 72}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.1.10

Вычтем $72$ из $10496$ .

$\frac{10424}{7 \cdot 8^{4} + 3}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{10424}{7 \cdot 4096 + 3}$

Этап 15.2.2

Умножим $7$ на $4096$ .

$\frac{10424}{28672 + 3}$

Этап 15.2.3

Добавим $28672$ и $3$ .

$\frac{10424}{28675}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{10424}{28675}$

Десятичная форма:

$0.36352223 \dots$