Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{e^{2} - x^{4}}{31 x - 2 x^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Этап 3

Найдем предел $e^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Этап 6

Вынесем член $31$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 lim_{x \to - 8} x^{3}}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем ${(- 8)}^{4}$ в виде ${({(- 8)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {({(- 8)}^{2})}^{2}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = {(- 8)}^{2}$ .

$\frac{(e + {(- 8)}^{2}) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.1.3.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - 1 \cdot 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.1.3.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $31$ на $- 8$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 \cdot - 512}$

Этап 10.2.3

Умножим $- 2$ на $- 512$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 + 1024}$

Этап 10.2.4

Добавим $- 248$ и $1024$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Десятичная форма:

$- 5.26882853 \dots$