Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $9$ в выражении $x^{9}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{\ln (x^{x})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $9$ в степень $9$ .

$\frac{387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Упростим $9 \cdot \ln (9)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$\frac{387420489 - e^{\ln (9^{9})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{387420489 - 9^{9}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.4

Возведем $9$ в степень $9$ .

$\frac{387420489 - 1 \cdot 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $387420489$ .

$\frac{387420489 - 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $387420489$ из $387420489$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{9} - x^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.2.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.7

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.8.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.8.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.9

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \cdot 1 - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1}$

Этап 1.4

Разделим $9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 lim_{x \to 9} x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.3

Вынесем степень $8$ в выражении $x^{8}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак экспоненты.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак логарифма.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.8

Внесем предел под знак логарифма.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Этап 2.9

Внесем предел под знак экспоненты.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}$

Этап 2.10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}$

Этап 2.11

Внесем предел под знак логарифма.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Этап 3.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $9$ на $9^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $9$ на $9^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9^{1 + 8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.1.2

Добавим $1$ и $8$ .

$9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.2

Возведем $9$ в степень $9$ .

$387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.3

Упростим $9 \cdot \ln (9)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$387420489 - e^{\ln (9^{9})} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$387420489 - 9^{9} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.5

Возведем $9$ в степень $9$ .

$387420489 - 1 \cdot 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.6

Умножим $- 1$ на $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Этап 4.1.7

Упростим $9 \cdot \ln (9)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - e^{\ln (9^{9})}$

Этап 4.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 9^{9}$

Этап 4.1.9

Возведем $9$ в степень $9$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 1 \cdot 387420489$

Этап 4.1.10

Умножим $- 1$ на $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 387420489$

Этап 4.2

Вычтем $387420489$ из $387420489$ .

$0 - 387420489 \ln (9)$

Этап 4.3

Вычтем $387420489 \ln (9)$ из $0$ .

$- 387420489 \ln (9)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 387420489 \ln (9)$

Десятичная форма:

$- 851249820.194417$