Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} x - \frac{9}{\sqrt{x - 3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} \frac{9}{\sqrt{x - 3}}$

Этап 2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 9} x - 9 lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} x - 9 \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x - 3}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} x - 9 \frac{1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x - 3}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$lim_{x \to 9} x - 9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x - 3}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} x - 9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 3}}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$lim_{x \to 9} x - 9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 3}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 - 9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 3}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$9 - 9 \frac{1}{\sqrt{9 - 1 \cdot 3}}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 - 9 \frac{1}{\sqrt{9 - 3}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$9 - 9 \frac{1}{\sqrt{6}}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$9 - 9 (\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 9.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 9.3.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 9.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 9.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 9.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 9.3.6.5

Найдем экспоненту.

$9 - 9 \frac{\sqrt{6}}{6}$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$9 + 3 (- 3) \frac{\sqrt{6}}{6}$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$9 + 3 \cdot - 3 \frac{\sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель.

$9 + 3 \cdot - 3 \frac{\sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

Этап 9.4.4

Перепишем это выражение.

$9 - 3 \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 9.5

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$9 + \frac{- 3 \sqrt{6}}{2}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$9 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$

Десятичная форма:

$5.32576538 \dots$