Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - \ln (1 + x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $999999$ .

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $999999$ .

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $999999$ .

$\ln (1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Этап 6

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + x)$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x)$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $999999$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $999999$ для $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $999999$ для $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + 999999)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1 + 999999^{2}}{1 + 999999})$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $999999$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{1 + 999998000001}{1 + 999999})$

Этап 10.2.2

Добавим $1$ и $999998000001$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1 + 999999})$

Этап 10.3

Добавим $1$ и $999999$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1000000})$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $999998000002$ и $1000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $999998000002$ .

$\ln (\frac{2 (499999000001)}{1000000})$

Этап 10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $1000000$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Этап 10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Этап 10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Десятичная форма:

$13.81550855 \dots$