Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 1.4.2

Переведем $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ в $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Этап 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Этап 2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $90$ для $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 1.995$ . Таким образом, предел $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева, равен $- 1.995$ .

$- 1.995$

Этап 7

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Этап 8

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Этап 9

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 1.995$ . Таким образом, предел $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа, равен $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $3$ на $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Этап 10.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Этап 10.3

Точное значение $\cot (90)$ : $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Этап 10.4

Умножим $- 1.995$ на $0$ .

$0$