Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.4.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $90$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sec (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 2.232$ . Таким образом, предел $\sec (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева, равен $- 2.232$ .

$- 2.232$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sec (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 2.232$ . Таким образом, предел $\sec (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа, равен $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Этап 9

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Этап 10

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Этап 11

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 1.995$ . Таким образом, предел $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ слева, равен $- 1.995$ .

$- 1.995$

Этап 12

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Этап 13

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Этап 14

Если значения $x$ стремятся к $90$ , значения функции стремятся к $- 1.995$ . Таким образом, предел $\tan (x)$ , когда $x$ стремится к $90$ справа, равен $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Этап 15

Умножим $- 2.232$ на $- 1.995$ .

$4.45284$