Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 6.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 9

$\frac{1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1 + 0 + 2 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{1 + 6 \cdot 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10.1.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + 6 \cdot 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + 6 \cdot 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 + 8 \cdot 0}$

Этап 10.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 + 0}$

Этап 10.2.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 10.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 10.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$