Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \infty} (\frac{d}{d x}) (\ln (x))}{x^{- 1}}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{d}{d x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Этап 1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}}{x^{- 1}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Этап 2.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Этап 2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}}{x^{- 1}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1}{x^{- 1}}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{x^{- 1}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{x^{- 1}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$0 x$

Этап 4.2

Умножим $0$ на $x$ .

$0$