Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x - 6}{8 x^{2} - 2 x - 6}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{1} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2.4

Разделим $5 x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{x \cdot - 6}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{- 6}{x} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} + \frac{- 6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $8$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 + \frac{x \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 + \frac{- 2}{x} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 - \frac{2}{x} + \frac{- 6}{x^{2}}}$

Этап 2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{8 - \frac{2}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{6}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 0 - \frac{6}{x^{2}}}{8 - \frac{2}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{6}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 0 - 0}{8 - \frac{2}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{2}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 0 - 0}{8 - 0 - \frac{6}{x^{2}}}$

Этап 6

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{6}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 0 - 0}{8 - 0 - 0}$

Этап 7

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{5 x - 0 - 0}{8 - 0 - 0}$ стремится к бесконечности.

$\infty$