Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Этап 1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3}}^{3}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

${(\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Этап 8

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Этап 10

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + 3})}^{3}$

Этап 11.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $0 + 3 \cdot 0$ и $0 + 4 \cdot 0 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Изменим порядок членов.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 (0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (0) + 3 (0)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $0 \cdot 4$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 3 (0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (0) + 3 (0 \cdot 4)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.4

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.6

Сократим общий множитель.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Этап 11.2.1.5.7

Перепишем это выражение.

${(\frac{0 + 0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

${(\frac{0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Этап 11.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $0$ на $4$ .

${(\frac{0}{0 + 0 + 1})}^{3}$

Этап 11.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

${(\frac{0}{0 + 1})}^{3}$

Этап 11.2.3.3

Добавим $0$ и $1$ .

${(\frac{0}{1})}^{3}$

Этап 11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0^{3}$

Этап 11.2.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$