Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 4

Умножим $2$ на $0$ .

$0$