Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x (\arctan (\frac{x}{x + 1}) - \frac{π}{4})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \arctan (\frac{x}{x + 1}) - \frac{π}{4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} \arctan (\frac{x}{x + 1}) - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Этап 3

Добавим $8$ и $1$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (\frac{8}{9} - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Этап 4

Подставим $t$ вместо $\frac{x}{x + 1}$ и устремим $t$ к $\frac{8}{9}$ , так как $lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1} = \frac{8}{9}$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Этап 5

Найдем предел $\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - \frac{π}{4})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - \frac{π}{4})$

Этап 6.2

Добавим $8$ и $1$ .

$8 \cdot (\arctan (\frac{8}{9}) - \frac{π}{4})$

Этап 6.3

Найдем значение $\arctan (\frac{8}{9})$ .

$8 \cdot (0.72664234 - \frac{π}{4})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из $0.72664234$ .

$8 \cdot - 0.05875582$

Этап 7.2

Умножим $8$ на $- 0.05875582$ .

$- 0.47004658$