Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Этап 1.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Этап 3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 3.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 3.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 3.2.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 3.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 3.2.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 3.2.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.2.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.2.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Десятичная форма:

$0.92387953 \dots$