Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{5 x}{x^{2} + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{5 x}{x^{2} + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{5 x}{x^{2} + 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\cos (5 lim_{x \to 8} \frac{x}{x^{2} + 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\cos (5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{2} + 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\cos (5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\cos (5 \frac{lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\cos (5 \frac{lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7} + lim_{x \to 8} \frac{π}{3})$

Этап 8

Найдем предел $\frac{π}{3}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\cos (5 \frac{lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\cos (5 \frac{8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\cos (5 \frac{8}{8^{2} + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\cos (5 \frac{8}{64 + 7} + \frac{π}{3})$

Этап 10.1.1.2

Добавим $64$ и $7$ .

$\cos (5 (\frac{8}{71}) + \frac{π}{3})$

Этап 10.1.2

Умножим $5 (\frac{8}{71})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{8}{71}$ .

$\cos (\frac{5 \cdot 8}{71} + \frac{π}{3})$

Этап 10.1.2.2

Умножим $5$ на $8$ .

$\cos (\frac{40}{71} + \frac{π}{3})$

Этап 10.2

Найдем значение $\cos (\frac{40}{71} + \frac{π}{3})$ .

$- 0.03977101$