Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (x - x^{2}) \ln (1 + \frac{1}{x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - x^{2} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \frac{1}{x})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \frac{1}{x})$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \frac{1}{x})$

Этап 4

Внесем предел под знак логарифма.

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \frac{1}{x})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (1 + \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (1 + \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(8 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \ln (1 + \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(8 - 8^{2}) \cdot \ln (1 + \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(8 - 8^{2}) \cdot \ln (1 + \frac{1}{8})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$(8 - 1 \cdot 64) \cdot \ln (1 + \frac{1}{8})$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$(8 - 64) \cdot \ln (1 + \frac{1}{8})$

Этап 10.2

Вычтем $64$ из $8$ .

$- 56 \cdot \ln (1 + \frac{1}{8})$

Этап 10.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 56 \cdot \ln (\frac{8}{8} + \frac{1}{8})$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 56 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$

Этап 10.5

Добавим $8$ и $1$ .

$- 56 \ln (\frac{9}{8})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 56 \ln (\frac{9}{8})$

Десятичная форма:

$- 6.59584999 \dots$