Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Этап 1

Найдем предел $z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $z$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$ .

$\frac{z (z^{2} - 3)}{z^{2} - 3} - \frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{z (z^{2} - 3) - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z \cdot z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.2

Умножим $z$ на $z^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $z$ на $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{z^{1 + 2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{z^{3} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 3$ влево от $z$ .

$\frac{z^{3} - 3 \cdot z - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} - - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.6

Вычтем $z^{3}$ из $z^{3}$ .

$\frac{- 3 z + 0 + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.3.7

Добавим $- 3 z$ и $0$ .

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Этап 2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + \frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 z + 5 + z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{- 3 z + z^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Этап 2.6.2

Пусть $u = z$ . Подставим $u$ вместо $z$ для всех.

$\frac{- 3 u + u^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Этап 2.6.3

Разложим $- 3 u + u^{2} + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 2.6.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(u - 2) (u - 1)}{z^{2} - 3}$

Этап 2.6.4

Заменим все вхождения $u$ на $z$ .

$\frac{(z - 2) (z - 1)}{z^{2} - 3}$