Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x - \frac{x (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \frac{x (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x (\sqrt{x})}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 7

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении $x^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$8 - \frac{8 \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 - \frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$8 - \frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Умножим $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.2.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.2.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{1 + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2 + 9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.1.6

Добавим $2$ и $9$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $3$ на $8$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 5}$

Этап 11.1.2.4

Вычтем $5$ из $24$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.2

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{\frac{11}{2}} + 19}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$ .

$\frac{8 (2^{\frac{11}{2}} + 19)}{2^{\frac{11}{2}} + 19} - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 (2^{\frac{11}{2}} + 19) - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 \cdot 2^{\frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2

Умножим $8 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{3 + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 2 + 11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2^{\frac{6 + 11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.2.6.2

Добавим $6$ и $11$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 11.4.3

Умножим $8$ на $19$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Десятичная форма:

$7.64784879 \dots$