Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{(x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)}{x - 9}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} (x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Найдем предел $(x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9^{2} - 9 \cdot 9 - (9^{2} - 9 \cdot 9)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{81 - 9 \cdot 9 - (9^{2} - 9 \cdot 9)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.2

Умножим $- 9$ на $9$ .

$\frac{81 - 81 - (9^{2} - 9 \cdot 9)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{81 - 81 - (81 - 9 \cdot 9)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.3.2

Умножим $- 9$ на $9$ .

$\frac{81 - 81 - (81 - 81)}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.4

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{81 - 81 - 0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{81 - 81 + 0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.3

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9} \frac{(x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 9 x) - (9^{2} - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x - (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 9 x - (81 - 9 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 + \frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (81 - 9 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (81 - 9 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [81 - 9 x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - \frac{d}{d x} [81 - 9 x]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.2

По правилу суммы производная $81 - 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.3

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - (0 - 9 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.6

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - (0 - 9)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.7

Вычтем $9$ из $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 - - 9}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 9 + 9}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.7.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x}{1 + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 x}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} 2 x$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 9} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$2 \cdot 9$

Этап 4

Умножим $2$ на $9$ .

$18$