Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} e^{\frac{5 e^{3 x} - 4 e^{- 3 x}}{3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to - 8} \frac{5 e^{3 x} - 4 e^{- 3 x}}{3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to - 8} 5 e^{3 x} - 4 e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to - 8} 5 e^{3 x} - lim_{x \to - 8} 4 e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 lim_{x \to - 8} e^{3 x} - lim_{x \to - 8} 4 e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 5

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{5 e^{lim_{x \to - 8} 3 x} - lim_{x \to - 8} 4 e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 4 e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 lim_{x \to - 8} e^{- 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{lim_{x \to - 8} - 3 x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 9

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} 3 e^{3 x} + lim_{x \to - 8} 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 lim_{x \to - 8} e^{3 x} + lim_{x \to - 8} 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 12

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{lim_{x \to - 8} 3 x} + lim_{x \to - 8} 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 13

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + lim_{x \to - 8} 8 e^{- 3 x}}}$

Этап 14

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + 8 lim_{x \to - 8} e^{- 3 x}}}$

Этап 15

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + 8 e^{lim_{x \to - 8} - 3 x}}}$

Этап 16

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 lim_{x \to - 8} x} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + 8 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}}$

Этап 17

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 \cdot - 8} - 4 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + 8 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}}$

Этап 17.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 \cdot - 8} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 lim_{x \to - 8} x} + 8 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}}$

Этап 17.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 \cdot - 8} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 lim_{x \to - 8} x}}}$

Этап 17.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$e^{\frac{5 e^{3 \cdot - 8} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$e^{\frac{5 e^{- 24} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{5 \frac{1}{e^{24}} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{e^{24}}$ .

$e^{\frac{\frac{5}{e^{24}} - 4 e^{- 3 \cdot - 8}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.4

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$e^{\frac{\frac{5}{e^{24}} - 4 e^{24}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.5

Чтобы записать $- 4 e^{24}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$e^{\frac{\frac{5}{e^{24}} - 4 e^{24} \cdot \frac{e^{24}}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.6

Объединим $- 4 e^{24}$ и $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$e^{\frac{\frac{5}{e^{24}} + \frac{- 4 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.8

Умножим $e^{24}$ на $e^{24}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.8.1

Перенесем $e^{24}$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 (e^{24} e^{24})}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{24 + 24}}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.1.8.3

Добавим $24$ и $24$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{3 e^{3 \cdot - 8} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{3 e^{- 24} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{3 \frac{1}{e^{24}} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{24}}$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3}{e^{24}} + 8 e^{- 3 \cdot - 8}}}$

Этап 18.2.4

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3}{e^{24}} + 8 e^{24}}}$

Этап 18.2.5

Чтобы записать $8 e^{24}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3}{e^{24}} + \frac{8 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}}$

Этап 18.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3 + 8 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}}$

Этап 18.2.7

Умножим $e^{24}$ на $e^{24}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.7.1

Перенесем $e^{24}$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3 + 8 (e^{24} e^{24})}{e^{24}}}}$

Этап 18.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3 + 8 e^{24 + 24}}{e^{24}}}}$

Этап 18.2.7.3

Добавим $24$ и $24$ .

$e^{\frac{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}}}{\frac{3 + 8 e^{48}}{e^{24}}}}$

Этап 18.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.4

Сократим общий множитель $e^{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{5 - 4 e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.4.2

Перепишем это выражение.

$e^{(5 - 4 e^{48}) \frac{1}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.5

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{5 \frac{1}{3 + 8 e^{48}} - 4 e^{48} \frac{1}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.6

Объединим $5$ и $\frac{1}{3 + 8 e^{48}}$ .

$e^{\frac{5}{3 + 8 e^{48}} - 4 e^{48} \frac{1}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.7

Умножим $- 4 e^{48} \frac{1}{3 + 8 e^{48}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.1

Объединим $\frac{1}{3 + 8 e^{48}}$ и $- 4$ .

$e^{\frac{5}{3 + 8 e^{48}} + \frac{- 4}{3 + 8 e^{48}} e^{48}}$

Этап 18.7.2

Объединим $\frac{- 4}{3 + 8 e^{48}}$ и $e^{48}$ .

$e^{\frac{5}{3 + 8 e^{48}} + \frac{- 4 e^{48}}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 18.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\frac{5 - 4 e^{48}}{3 + 8 e^{48}}}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{5 - 4 e^{48}}{3 + 8 e^{48}}}$

Десятичная форма:

$0.60653065 \dots$