Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 5.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 5.2.2

Возведем $\sqrt[5]{8}$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Этап 5.2.5

Перепишем ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ в виде $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 5.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 5.2.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Этап 5.2.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Этап 5.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Этап 5.2.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Этап 5.3.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4096}}{8}$

Этап 5.3.3

Перепишем $4096$ в виде $4^{5} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $1024$ из $4096$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $1024$ в виде $4^{5}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\ln (8) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (8)$ в виде $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (2^{3}) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Этап 5.5

Развернем $\ln (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $4$ из $3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{8}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Десятичная форма:

$1.37191978 \dots$