Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\arctan (x)}{x + 2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 2 x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\arctan (x)}{x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 x})$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 x})$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x})$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x})$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\arctan (8)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10.2

Найдем значение $\arctan (8)$ .

$\frac{1.44644133}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

Этап 10.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $8$ и $2$ .

$\frac{1.44644133}{10} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

Этап 11.2

Разделим $1.44644133$ на $10$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{64 + 2 \cdot 8})$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{64 + 16})$

Этап 11.3.3

Добавим $64$ и $16$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{80})$

Этап 11.3.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{16 (5)})$

Этап 11.3.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{4^{2} \cdot 5})$

Этап 11.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$0.14464413 \cdot (8 + 4 \sqrt{5})$

Этап 11.4

Умножим $0.14464413$ на $8 + 4 \sqrt{5}$ .

$2.45088952$