Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{9 - 8 x + \sin (2 x)}{9 x + \cos (2 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - 8 x + \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (lim_{x \to - 8} 2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Этап 8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (lim_{x \to - 8} 2 x)}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (- 16)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.1.3

Найдем значение $\sin (- 16)$ .

$\frac{9 + 64 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.1.4

Добавим $9$ и $64$ .

$\frac{73 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.1.5

Вычтем $0.27563735$ из $73$ .

$\frac{72.72436264}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $9$ на $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Этап 12.2.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (- 16)}$

Этап 12.2.3

Найдем значение $\cos (- 16)$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + 0.96126169}$

Этап 12.2.4

Добавим $- 72$ и $0.96126169$ .

$\frac{72.72436264}{- 71.0387383}$

Этап 12.3

Разделим $72.72436264$ на $- 71.0387383$ .

$- 1.02372824$