Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{16 x^{2}}{7 + 49 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{16 x^{2}}{7 + 49 x^{2}}}$

Этап 2

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{16 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{7 + 49 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{16 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 7 + 49 x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 7 + 49 x^{2}}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{7 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{7 + 49 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{7 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{16 \frac{8^{2}}{7 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{16 \frac{8^{2}}{7 + 49 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $16$ и $\frac{8^{2}}{7 + 49 \cdot 8^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 8^{2}}{7 + 49 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 8^{2}}{7 + 49 \cdot 64}}$

Этап 10.3

Умножим $49$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 8^{2}}{7 + 3136}}$

Этап 10.4

Добавим $7$ и $3136$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 8^{2}}{3143}}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} \cdot 8^{2}}{3143}}$

Этап 10.5.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3143}}$

Этап 10.5.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3143}}$

Этап 10.5.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} \cdot 2^{6}}{3143}}$

Этап 10.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{2^{4 + 6}}{3143}}$

Этап 10.5.5

Добавим $4$ и $6$ .

$\sqrt{\frac{2^{10}}{3143}}$

Этап 10.6

Возведем $2$ в степень $10$ .

$\sqrt{\frac{1024}{3143}}$

Этап 10.7

Перепишем $\sqrt{\frac{1024}{3143}}$ в виде $\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3143}}$ .

$\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3143}}$

Этап 10.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$\frac{\sqrt{32^{2}}}{\sqrt{3143}}$

Этап 10.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{32}{\sqrt{3143}}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{32}{\sqrt{3143}}$ на $\frac{\sqrt{3143}}{\sqrt{3143}}$ .

$\frac{32}{\sqrt{3143}} \cdot \frac{\sqrt{3143}}{\sqrt{3143}}$

Этап 10.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{32}{\sqrt{3143}}$ на $\frac{\sqrt{3143}}{\sqrt{3143}}$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{\sqrt{3143} \sqrt{3143}}$

Этап 10.10.2

Возведем $\sqrt{3143}$ в степень $1$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{{\sqrt{3143}}^{1} \sqrt{3143}}$

Этап 10.10.3

Возведем $\sqrt{3143}$ в степень $1$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{{\sqrt{3143}}^{1} {\sqrt{3143}}^{1}}$

Этап 10.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{32 \sqrt{3143}}{{\sqrt{3143}}^{1 + 1}}$

Этап 10.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{{\sqrt{3143}}^{2}}$

Этап 10.10.6

Перепишем ${\sqrt{3143}}^{2}$ в виде $3143$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3143}$ в виде $3143^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{{(3143^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143^{1}}$

Этап 10.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32 \sqrt{3143}}{3143}$

Десятичная форма:

$0.57079188 \dots$