Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{10 x^{4} + 5 x^{3} + 1}{1 + 2 x^{4}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{10 x^{4} + 5 x^{3} + 1}{1 + 2 x^{4}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 10 x^{4} + 5 x^{3} + 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 10 x^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 4

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{10 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{lim_{x \to 8} 1 + 2 x^{4}}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 2 x^{4}}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{1 + lim_{x \to 8} 2 x^{4}}}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{1 + 2 lim_{x \to 8} x^{4}}}$

Этап 12

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{10 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{1 + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 8^{4} + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}{1 + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}{1 + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 4096 + 5 \cdot 8^{3} + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.2

Умножим $10$ на $4096$ .

$\sqrt{\frac{40960 + 5 \cdot 8^{3} + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt{\frac{40960 + 5 \cdot 512 + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.4

Умножим $5$ на $512$ .

$\sqrt{\frac{40960 + 2560 + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.5

Добавим $40960$ и $2560$ .

$\sqrt{\frac{43520 + 1}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.6

Добавим $43520$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{43521}{1 + 2 \cdot 8^{4}}}$

Этап 14.7

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt{\frac{43521}{1 + 2 \cdot 4096}}$

Этап 14.8

Умножим $2$ на $4096$ .

$\sqrt{\frac{43521}{1 + 8192}}$

Этап 14.9

Добавим $1$ и $8192$ .

$\sqrt{\frac{43521}{8193}}$

Этап 14.10

Сократим общий множитель $43521$ и $8193$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.10.1

Вынесем множитель $3$ из $43521$ .

$\sqrt{\frac{3 (14507)}{8193}}$

Этап 14.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $8193$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 14507}{3 \cdot 2731}}$

Этап 14.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 14507}{3 \cdot 2731}}$

Этап 14.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{14507}{2731}}$

Этап 14.11

Перепишем $\sqrt{\frac{14507}{2731}}$ в виде $\frac{\sqrt{14507}}{\sqrt{2731}}$ .

$\frac{\sqrt{14507}}{\sqrt{2731}}$

Этап 14.12

Умножим $\frac{\sqrt{14507}}{\sqrt{2731}}$ на $\frac{\sqrt{2731}}{\sqrt{2731}}$ .

$\frac{\sqrt{14507}}{\sqrt{2731}} \cdot \frac{\sqrt{2731}}{\sqrt{2731}}$

Этап 14.13

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.13.1

Умножим $\frac{\sqrt{14507}}{\sqrt{2731}}$ на $\frac{\sqrt{2731}}{\sqrt{2731}}$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{\sqrt{2731} \sqrt{2731}}$

Этап 14.13.2

Возведем $\sqrt{2731}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{{\sqrt{2731}}^{1} \sqrt{2731}}$

Этап 14.13.3

Возведем $\sqrt{2731}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{{\sqrt{2731}}^{1} {\sqrt{2731}}^{1}}$

Этап 14.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{{\sqrt{2731}}^{1 + 1}}$

Этап 14.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{{\sqrt{2731}}^{2}}$

Этап 14.13.6

Перепишем ${\sqrt{2731}}^{2}$ в виде $2731$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.13.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2731}$ в виде $2731^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{{(2731^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.13.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{2731^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.13.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{2731^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.13.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.13.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{2731^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.13.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{2731^{1}}$

Этап 14.13.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{14507} \sqrt{2731}}{2731}$

Этап 14.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.14.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{14507 \cdot 2731}}{2731}$

Этап 14.14.2

Умножим $14507$ на $2731$ .

$\frac{\sqrt{39618617}}{2731}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{39618617}}{2731}$

Десятичная форма:

$2.30477192 \dots$