Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Этап 10

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Этап 12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Этап 13

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.2

Умножим $12$ на $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.3

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.4

Вычтем $40$ из $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.5

Добавим $6104$ и $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.7

Умножим $4$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Этап 15.8

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Этап 15.9

Умножим $3$ на $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Этап 15.10

Добавим $1$ и $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Этап 15.11

Добавим $257$ и $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Этап 15.12

Перепишем $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ в виде $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Этап 15.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.13.1

Перепишем $6111$ в виде $3^{2} \cdot 679$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.13.1.1

Вынесем множитель $9$ из $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Этап 15.13.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Этап 15.13.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Этап 15.14

Умножим $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ на $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Этап 15.15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.15.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ на $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Этап 15.15.2

Возведем $\sqrt{1793}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Этап 15.15.3

Возведем $\sqrt{1793}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Этап 15.15.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Этап 15.15.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Этап 15.15.6

Перепишем ${\sqrt{1793}}^{2}$ в виде $1793$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.15.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1793}$ в виде $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 15.15.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 15.15.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.15.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.15.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.15.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Этап 15.15.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Этап 15.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.16.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Этап 15.16.2

Умножим $1793$ на $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Десятичная форма:

$1.84614580 \dots$