Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{9 x^{2}}{2 + 25 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{9 x^{2}}{2 + 25 x^{2}}}$

Этап 2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{2 + 25 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 25 x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{9 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 25 x^{2}}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 25 x^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + lim_{x \to 8} 25 x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{9 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 25 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{9 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{9 \frac{8^{2}}{2 + 25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{9 \frac{8^{2}}{2 + 25 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $9$ и $\frac{8^{2}}{2 + 25 \cdot 8^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{2 + 25 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{2 + 25 \cdot 64}}$

Этап 10.3

Умножим $25$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{2 + 1600}}$

Этап 10.4

Добавим $2$ и $1600$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{1602}}$

Этап 10.5

Сократим выражение $\frac{9 \cdot 8^{2}}{1602}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \cdot 8^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 (8^{2})}{1602}}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $9$ из $1602$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{9 \cdot 178}}$

Этап 10.5.3

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 8^{2}}{9 \cdot 178}}$

Этап 10.5.4

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{8^{2}}{178}}$

Этап 10.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{64}{178}}$

Этап 10.7

Сократим общий множитель $64$ и $178$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\sqrt{\frac{2 (32)}{178}}$

Этап 10.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $178$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 89}}$

Этап 10.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 89}}$

Этап 10.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{32}{89}}$

Этап 10.8

Перепишем $\sqrt{\frac{32}{89}}$ в виде $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{89}}$ .

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{89}}$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{\sqrt{89}}$

Этап 10.9.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{\sqrt{89}}$

Этап 10.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{89}}$

Этап 10.10

Умножим $\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{89}}$ на $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{89}} \cdot \frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$

Этап 10.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Умножим $\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{89}}$ на $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{\sqrt{89} \sqrt{89}}$

Этап 10.11.2

Возведем $\sqrt{89}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} \sqrt{89}}$

Этап 10.11.3

Возведем $\sqrt{89}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} {\sqrt{89}}^{1}}$

Этап 10.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1 + 1}}$

Этап 10.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{2}}$

Этап 10.11.6

Перепишем ${\sqrt{89}}^{2}$ в виде $89$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{89}$ в виде $89^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{{(89^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{89^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{89^{1}}$

Этап 10.11.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{2} \sqrt{89}}{89}$

Этап 10.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{4 \sqrt{89 \cdot 2}}{89}$

Этап 10.12.2

Умножим $89$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{178}}{89}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 \sqrt{178}}{89}$

Десятичная форма:

$0.59962535 \dots$