Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x + 1}{3 x - 5}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x + 1}{3 x - 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x + 1}{lim_{x \to 8} 3 x - 5}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 3 x - 5}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 3 x - 5}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 3 x - 5}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 8

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8 + 1}{3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8 + 1}{3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{16 + 1}{3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 10.2

Добавим $16$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{17}{3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 10.3

Умножим $3$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{17}{24 - 1 \cdot 5}}$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{17}{24 - 5}}$

Этап 10.5

Вычтем $5$ из $24$ .

$\sqrt{\frac{17}{19}}$

Этап 10.6

Перепишем $\sqrt{\frac{17}{19}}$ в виде $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$

Этап 10.7

Умножим $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Этап 10.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Этап 10.8.2

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Этап 10.8.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Этап 10.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Этап 10.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Этап 10.8.6

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{19^{1}}$

Этап 10.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{19}}{19}$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{17 \cdot 19}}{19}$

Этап 10.9.2

Умножим $17$ на $19$ .

$\frac{\sqrt{323}}{19}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{323}}{19}$

Десятичная форма:

$0.94590530 \dots$