Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\sin (16)$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

Этап 9.2.3

Вычтем $1$ из $- 24$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

Этап 9.2.4

Перепишем $e^{8} - 25$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Перепишем $e^{8}$ в виде ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

Этап 9.2.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

Этап 9.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{4}$ и $b = 5$ .

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Этап 9.3

Заменим $e$ приближением.

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Этап 9.4

Возведем $2.71828182$ в степень $4$ .

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

Этап 9.5

Добавим $54.59815003$ и $5$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

Этап 9.6

Заменим $e$ приближением.

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

Этап 9.7

Возведем $2.71828182$ в степень $4$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

Этап 9.8

Вычтем $5$ из $54.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

Этап 9.9

Умножим $59.59815003$ на $49.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

Этап 9.10

Разделим $0.27563735$ на $2955.95798704$ .

$0.00009324$