Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (x^{2})}{\sin (x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{\sin (x^{2})}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.2

Запишем $\sin (x^{2})$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \csc (x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to 8} x^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \csc (lim_{x \to 8} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sin (8^{2}) \cdot \csc (lim_{x \to 8} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sin (8^{2}) \cdot \csc (8)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sin (64) \cdot \csc (8)$

Этап 7.2

Найдем значение $\sin (64)$ .

$0.89879404 \cdot \csc (8)$

Этап 7.3

Найдем значение $\csc (8)$ .

$0.89879404 \cdot 7.18529653$

Этап 7.4

Умножим $0.89879404$ на $7.18529653$ .

$6.45810174$