Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \log_{13} (1 + 13^{- x})$

Этап 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\log_{13} (lim_{x \to 8} 1 + 13^{- x})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\log_{13} (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 13^{- x})$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\log_{13} (1 + lim_{x \to 8} 13^{- x})$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\log_{13} (1 + 13^{lim_{x \to 8} - x})$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\log_{13} (1 + 13^{- lim_{x \to 8} x})$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\log_{13} (1 + 13^{- 8})$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{13} (1 + \frac{1}{13^{8}})$

Этап 6.2.1.2

Возведем $13$ в степень $8$ .

$\log_{13} (1 + \frac{1}{815730721})$

Этап 6.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\log_{13} (\frac{815730721}{815730721} + \frac{1}{815730721})$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{13} (\frac{815730721 + 1}{815730721})$

Этап 6.2.4

Добавим $815730721$ и $1$ .

$\log_{13} (\frac{815730722}{815730721})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\log_{13} (\frac{815730722}{815730721})$

Десятичная форма:

$4.779411 \cdot 10^{- 10}$