Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 2 + \frac{132}{x} + \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 3

Вынесем член $132$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 + 132 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$2 + 132 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{lim_{x \to 8} \sin^{4} (x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Этап 7

Вынесем степень $4$ в выражении $\sin^{4} (x^{5})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x^{5}))}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} (lim_{x \to 8} x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Этап 9

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Этап 10

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$2 + 4 (33) \frac{1}{8} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 + 33 (\frac{1}{2}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12.1.2

Объединим $33$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Этап 12.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Возведем $8$ в степень $5$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (32768)}{8^{4}}$

Этап 12.1.3.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8)}{8^{4}}$

Этап 12.1.3.3

Найдем значение $\sin (8)$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{{0.1391731}^{4}}{8^{4}}$

Этап 12.1.3.4

Возведем $0.1391731$ в степень $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{8^{4}}$

Этап 12.1.4

Возведем $8$ в степень $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{4096}$

Этап 12.1.5

Разделим $0.00037516$ на $4096$ .

$2 + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Этап 12.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{1} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Этап 12.2.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Этап 12.2.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Этап 12.2.4

Запишем $0.00000009$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1}$

Этап 12.2.5

Умножим $\frac{0.00000009}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 12.2.6

Умножим $\frac{0.00000009}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009 \cdot 2}{2}$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Этап 12.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Этап 12.4.2

Умножим $0.00000009$ на $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000018}{2}$

Этап 12.5

Добавим $4$ и $33$ .

$\frac{37 + 0.00000018}{2}$

Этап 12.6

Добавим $37$ и $0.00000018$ .

$\frac{37.00000018}{2}$

Этап 12.7

Разделим $37.00000018$ на $2$ .

$18.50000009$