Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{2 (\cos (7 x - 4 x))}{5 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{2}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to 8} \frac{\cos (7 x - 4 x)}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \cos (7 x - 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 8} 7 x - 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{8}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{2 (4)}$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{2 \cdot 4}$

Этап 8.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{4}$

Этап 8.2

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{4}$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 4 \cdot 8)}{4}$

Этап 8.4

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 32)}{4}$

Этап 8.5

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{\cos (56 - 32)}{4}$ .

$\frac{\cos (56 - 32)}{5 \cdot 4}$

Этап 8.6

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{\cos (56 - 32)}{20}$

Этап 8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вычтем $32$ из $56$ .

$\frac{\cos (24)}{20}$

Этап 8.7.2

Найдем значение $\cos (24)$ .

$\frac{0.91354545}{20}$

Этап 8.8

Разделим $0.91354545$ на $20$ .

$0.04567727$