Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x^{- 8} - 20000 x^{- 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x^{- 8} - lim_{x \to 8} 20000 x^{- 4}$

Этап 2

Вынесем степень $- 8$ в выражении $x^{- 8}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - lim_{x \to 8} 20000 x^{- 4}$

Этап 3

Вынесем член $20000$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - 20000 lim_{x \to 8} x^{- 4}$

Этап 4

Вынесем степень $- 4$ в выражении $x^{- 4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - 20000 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 4}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{- 8} - 20000 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 4}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{- 8} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8^{8}} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Этап 6.1.2

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Этап 6.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot \frac{1}{8^{4}}$

Этап 6.1.4

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot \frac{1}{4096}$

Этап 6.1.5

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Вынесем множитель $32$ из $- 20000$ .

$\frac{1}{16777216} + 32 (- 625) \cdot \frac{1}{4096}$

Этап 6.1.5.2

Вынесем множитель $32$ из $4096$ .

$\frac{1}{16777216} + 32 \cdot - 625 \cdot \frac{1}{32 \cdot 128}$

Этап 6.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{16777216} + 32 \cdot - 625 \cdot \frac{1}{32 \cdot 128}$

Этап 6.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{16777216} - 625 \cdot \frac{1}{128}$

Этап 6.1.6

Объединим $- 625$ и $\frac{1}{128}$ .

$\frac{1}{16777216} + \frac{- 625}{128}$

Этап 6.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{16777216} - \frac{625}{128}$

Этап 6.2

Чтобы записать $- \frac{625}{128}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{131072}{131072}$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625}{128} \cdot \frac{131072}{131072}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16777216$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{625}{128}$ на $\frac{131072}{131072}$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625 \cdot 131072}{128 \cdot 131072}$

Этап 6.3.2

Умножим $128$ на $131072$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625 \cdot 131072}{16777216}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 625 \cdot 131072}{16777216}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $- 625$ на $131072$ .

$\frac{1 - 81920000}{16777216}$

Этап 6.5.2

Вычтем $81920000$ из $1$ .

$\frac{- 81919999}{16777216}$

Этап 6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{81919999}{16777216}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{81919999}{16777216}$

Десятичная форма:

$- 4.88281244 \dots$