Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 15 x^{3} - \frac{4}{5 x^{2} + 16 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 15 x^{3} - lim_{x \to 8} \frac{4}{5 x^{2} + 16 x}$

Этап 2

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$15 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} \frac{4}{5 x^{2} + 16 x}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} \frac{4}{5 x^{2} + 16 x}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 8} \frac{1}{5 x^{2} + 16 x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 16 x}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{1}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 16 x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{1}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + lim_{x \to 8} 16 x}$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{1}{5 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16 x}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{1}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16 x}$

Этап 10

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$15 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 \frac{1}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 8} x}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$15 \cdot 8^{3} - 4 \frac{1}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16 lim_{x \to 8} x}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$15 \cdot 8^{3} - 4 \frac{1}{5 \cdot 8^{2} + 16 lim_{x \to 8} x}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$15 \cdot 8^{3} - 4 \frac{1}{5 \cdot 8^{2} + 16 \cdot 8}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$15 \cdot 512 - 4 \frac{1}{5 \cdot 8^{2} + 16 \cdot 8}$

Этап 12.1.2

Умножим $15$ на $512$ .

$7680 - 4 \frac{1}{5 \cdot 8^{2} + 16 \cdot 8}$

Этап 12.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$7680 - 4 \frac{1}{5 \cdot 64 + 16 \cdot 8}$

Этап 12.1.3.2

Умножим $5$ на $64$ .

$7680 - 4 \frac{1}{320 + 16 \cdot 8}$

Этап 12.1.3.3

Умножим $16$ на $8$ .

$7680 - 4 \frac{1}{320 + 128}$

Этап 12.1.3.4

Добавим $320$ и $128$ .

$7680 - 4 (\frac{1}{448})$

Этап 12.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$7680 + 4 (- 1) \frac{1}{448}$

Этап 12.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $448$ .

$7680 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 112}$

Этап 12.1.4.3

Сократим общий множитель.

$7680 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 112}$

Этап 12.1.4.4

Перепишем это выражение.

$7680 - \frac{1}{112}$

Этап 12.2

Чтобы записать $7680$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{112}{112}$ .

$7680 \cdot \frac{112}{112} - \frac{1}{112}$

Этап 12.3

Объединим $7680$ и $\frac{112}{112}$ .

$\frac{7680 \cdot 112}{112} - \frac{1}{112}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7680 \cdot 112 - 1}{112}$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $7680$ на $112$ .

$\frac{860160 - 1}{112}$

Этап 12.5.2

Вычтем $1$ из $860160$ .

$\frac{860159}{112}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{860159}{112}$

Десятичная форма:

$7679.99107142 \dots$