Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} 1 - \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} 1 - lim_{x \to - 8} \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$1 - lim_{x \to - 8} \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$1 - \frac{lim_{x \to - 8} | x - x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 4

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{4} + | x |}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} | x |}}$

Этап 9

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} | x |}}$

Этап 10

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$1 - \frac{| - 8 - 1 \cdot 64 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Этап 12.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$1 - \frac{| - 8 - 64 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Этап 12.1.3

Вычтем $64$ из $- 8$ .

$1 - \frac{| - 72 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Этап 12.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 72$ и $0$ равно $72$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4096 + | - 8 |}}$

Этап 12.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 8$ и $0$ равно $8$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4096 + 8}}$

Этап 12.2.3

Добавим $4096$ и $8$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4104}}$

Этап 12.2.4

Перепишем $4104$ в виде $6^{2} \cdot 114$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Вынесем множитель $36$ из $4104$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{36 (114)}}$

Этап 12.2.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{6^{2} \cdot 114}}$

Этап 12.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - \frac{72}{6 \sqrt{114}}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $72$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $6$ из $72$ .

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 \sqrt{114}}$

Этап 12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{114}$ .

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 (\sqrt{114})}$

Этап 12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 \sqrt{114}}$

Этап 12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{12}{\sqrt{114}}$

Этап 12.4

Умножим $\frac{12}{\sqrt{114}}$ на $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}}$ .

$1 - (\frac{12}{\sqrt{114}} \cdot \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}})$

Этап 12.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $\frac{12}{\sqrt{114}}$ на $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}}$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{\sqrt{114} \sqrt{114}}$

Этап 12.5.2

Возведем $\sqrt{114}$ в степень $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1} \sqrt{114}}$

Этап 12.5.3

Возведем $\sqrt{114}$ в степень $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1} {\sqrt{114}}^{1}}$

Этап 12.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1 + 1}}$

Этап 12.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{2}}$

Этап 12.5.6

Перепишем ${\sqrt{114}}^{2}$ в виде $114$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{114}$ в виде $114^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{(114^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{1}}$

Этап 12.5.6.5

Найдем экспоненту.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114}$

Этап 12.6

Сократим общий множитель $12$ и $114$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $6$ из $12 \sqrt{114}$ .

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{114}$

Этап 12.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.2.1

Вынесем множитель $6$ из $114$ .

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{6 (19)}$

Этап 12.6.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{6 \cdot 19}$

Этап 12.6.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{2 \sqrt{114}}{19}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{2 \sqrt{114}}{19}$

Десятичная форма:

$- 0.12390297 \dots$