Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{x + 2 \cos (x)}{4 x + \sin (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 8} 4 x + \sin (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 8} 4 x + \sin (x)}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 lim_{x \to 8} \cos (x)}{lim_{x \to 8} 4 x + \sin (x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 \cos (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 4 x + \sin (x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 \cos (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} \sin (x)}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 \cos (lim_{x \to 8} x)}{4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sin (x)}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2 \cos (lim_{x \to 8} x)}{4 lim_{x \to 8} x + \sin (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 + 2 \cos (lim_{x \to 8} x)}{4 lim_{x \to 8} x + \sin (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 + 2 \cos (8)}{4 lim_{x \to 8} x + \sin (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 + 2 \cos (8)}{4 \cdot 8 + \sin (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8 + 2 \cos (8)}{4 \cdot 8 + \sin (8)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\cos (8)$ .

$\frac{8 + 2 \cdot 0.99026806}{4 \cdot 8 + \sin (8)}$

Этап 9.1.2

Умножим $2$ на $0.99026806$ .

$\frac{8 + 1.98053613}{4 \cdot 8 + \sin (8)}$

Этап 9.1.3

Добавим $8$ и $1.98053613$ .

$\frac{9.98053613}{4 \cdot 8 + \sin (8)}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{9.98053613}{32 + \sin (8)}$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\sin (8)$ .

$\frac{9.98053613}{32 + 0.1391731}$

Этап 9.2.3

Добавим $32$ и $0.1391731$ .

$\frac{9.98053613}{32.1391731}$

Этап 9.3

Разделим $9.98053613$ на $32.1391731$ .

$0.31054116$