Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x^{3} - \sqrt{x^{6} - 2 x^{3} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{6} - 2 x^{3} - 1}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{6} - 2 x^{3} - 1}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{6} - 2 x^{3} - 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{6} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 5

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{6} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{6} - 2 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{6} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{6} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{3} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{6} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{3} - \sqrt{8^{6} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{3} - \sqrt{8^{6} - 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 - \sqrt{8^{6} - 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $6$ .

$512 - \sqrt{262144 - 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 - \sqrt{262144 - 2 \cdot 512 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.4

Умножим $- 2$ на $512$ .

$512 - \sqrt{262144 - 1024 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$512 - \sqrt{262144 - 1024 - 1}$

Этап 10.6

Вычтем $1024$ из $262144$ .

$512 - \sqrt{261120 - 1}$

Этап 10.7

Вычтем $1$ из $261120$ .

$512 - \sqrt{261119}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$512 - \sqrt{261119}$

Десятичная форма:

$1.00195695 \dots$