Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{x^{4}}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{2}{x^{4}}}$ в виде $e^{\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})$ , вынося $\frac{2}{x^{4}}$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x^{4}} \ln (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{4}} \ln (x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 2.6

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{2 \frac{1}{8^{4}} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{2 \frac{1}{8^{4}} \cdot \ln (8)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$e^{2 (\frac{1}{4096}) \cdot \ln (8)}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4096$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (2048)} \cdot \ln (8)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 2048} \cdot \ln (8)}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{1}{2048} \cdot \ln (8)}$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2048}$ и $\ln (8)$ .

$e^{\frac{\ln (8)}{2048}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (8)}{2048}}$

Десятичная форма:

$1.00101586 \dots$