Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{- 512 - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10.2

Вычтем $8$ из $- 512$ .

$\sqrt[3]{- 520} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10.3

Перепишем $- 520$ в виде ${(- 2)}^{3} \cdot 65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 520$ .

$\sqrt[3]{- 8 (65)} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10.3.2

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3} \cdot 65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Этап 10.5

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 512 + 1}$

Этап 10.6

Добавим $- 512$ и $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 511}$

Этап 10.7

Перепишем $- 511$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 511$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Перепишем $- 511$ в виде $- 1 (511)$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 1 (511)}$

Этап 10.7.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 511}$

Этап 10.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 2 \sqrt[3]{65} - (- 1 \sqrt[3]{511})$

Этап 10.9

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{511}$ в виде $- \sqrt[3]{511}$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - - \sqrt[3]{511}$

Этап 10.10

Умножим $- - \sqrt[3]{511}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + 1 \sqrt[3]{511}$

Этап 10.10.2

Умножим $\sqrt[3]{511}$ на $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Десятичная форма:

$- 0.04666324 \dots$