Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Этап 4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $8$ на $8^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $8$ на $8^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{1} \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Этап 10.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt[3]{\frac{8^{1 + 3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Этап 10.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{4} - 8}{8^{3} + 1}}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4096 - 8}{8^{3} + 1}}$

Этап 10.3

Вычтем $8$ из $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{8^{3} + 1}}$

Этап 10.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{512 + 1}}$

Этап 10.5

Добавим $512$ и $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$

Этап 10.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$

Этап 10.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Перепишем $4088$ в виде $2^{3} \cdot 511$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1.1

Вынесем множитель $8$ из $4088$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (511)}}{\sqrt[3]{513}}$

Этап 10.7.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 511}}{\sqrt[3]{513}}$

Этап 10.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{513}}$

Этап 10.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Перепишем $513$ в виде $3^{3} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.1

Вынесем множитель $27$ из $513$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Этап 10.8.1.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Этап 10.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 10.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 10.10.2

Перенесем $\sqrt[3]{19}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Этап 10.10.3

Возведем $\sqrt[3]{19}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Этап 10.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Этап 10.10.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Этап 10.10.6

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{19}$ в виде $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 10.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 10.10.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.10.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Этап 10.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Этап 10.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Этап 10.11.2

Возведем $19$ в степень $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Этап 10.11.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt[3]{361 \cdot 511}}{3 \cdot 19}$

Этап 10.11.3.2

Умножим $361$ на $511$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{3 \cdot 19}$

Этап 10.12

Умножим $3$ на $19$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Десятичная форма:

$1.99739752 \dots$