Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + 9 x + 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Этап 10

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $9$ на $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 64}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.3

Умножим $3$ на $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.4

Добавим $6$ и $72$ .

$\sqrt[3]{\frac{78 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.5

Добавим $78$ и $192$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.6

Умножим $8$ на $8^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Этап 13.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1 + 2}}}$

Этап 13.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{3}}}$

Этап 13.7

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 512}}$

Этап 13.8

Добавим $1$ и $512$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{513}}$

Этап 13.9

Сократим общий множитель $270$ и $513$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Вынесем множитель $27$ из $270$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 (10)}{513}}$

Этап 13.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.2.1

Вынесем множитель $27$ из $513$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Этап 13.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Этап 13.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$

Этап 13.10

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$

Этап 13.11

Умножим $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 13.12

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 13.12.2

Возведем $\sqrt[3]{19}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 13.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Этап 13.12.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Этап 13.12.5

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{19}$ в виде $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 13.12.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 13.12.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 13.12.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 13.12.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{1}}$

Этап 13.12.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19}$

Этап 13.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.13.1

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{19^{2}}}{19}$

Этап 13.13.2

Возведем $19$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{361}}{19}$

Этап 13.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[3]{10 \cdot 361}}{19}$

Этап 13.14.2

Умножим $10$ на $361$ .

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Десятичная форма:

$0.80738770 \dots$