Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[5]{\frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[5]{lim_{x \to 8} \frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + x^{10} - 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 4

Вынесем член $19$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 lim_{x \to 8} x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 5

Вынесем степень $7$ в выражении $x^{7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 6

Вынесем степень $10$ в выражении $x^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 7

Найдем предел $73$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Этап 9

Вынесем член $32$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Этап 10

Вынесем степень $10$ в выражении $x^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Этап 11

Найдем предел $17^{8}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Этап 12

Найдем предел $42$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возведем $8$ в степень $7$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 2097152 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.2

Умножим $19$ на $2097152$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.3

Возведем $8$ в степень $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.4

Умножим $- 1$ на $73$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.5

Добавим $39845888$ и $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587712 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.6

Вычтем $73$ из $1113587712$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.7

Возведем $8$ в степень $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 1073741824 - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.8

Умножим $32$ на $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 17^{8} + 42}}$

Этап 14.9

Возведем $17$ в степень $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 1 \cdot 6975757441 + 42}}$

Этап 14.10

Умножим $- 1$ на $6975757441$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 6975757441 + 42}}$

Этап 14.11

Вычтем $6975757441$ из $34359738368$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980927 + 42}}$

Этап 14.12

Добавим $27383980927$ и $42$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$

Этап 14.13

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$

Этап 14.14

Умножим $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Этап 14.15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.15.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{\sqrt[5]{27383980969} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Этап 14.15.2

Возведем $\sqrt[5]{27383980969}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Этап 14.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1 + 4}}$

Этап 14.15.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{5}}$

Этап 14.15.5

Перепишем ${\sqrt[5]{27383980969}}^{5}$ в виде $27383980969$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.15.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{27383980969}$ в виде $27383980969^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{(27383980969^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 14.15.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 14.15.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Этап 14.15.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.15.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Этап 14.15.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{1}}$

Этап 14.15.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969}$

Этап 14.16

Перепишем ${\sqrt[5]{27383980969}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{27383980969^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} \sqrt[5]{27383980969^{4}}}{27383980969}$

Этап 14.17

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Десятичная форма:

$0.52704241 \dots$