Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (x^{2} - 1) (2 - \cos (x))$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} - 1 \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x))$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - lim_{x \to 0} \cos (x))$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (lim_{x \to 0} x))$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(0^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (lim_{x \to 0} x))$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$(0^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(0 - 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 \cdot (2 - \cos (0))$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 \cdot (2 - 1)$

Этап 9.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 9.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$