Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \sin (4 x) \cos (5 x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)$

Этап 7

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (3 x)$

Этап 8

Когда $x$ стремится к $0$ слева, функция неограниченно убывает.

$- \infty$

Этап 9

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (3 x)$

Этап 10

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 11

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны, предел не существует.

$Не существует$