Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \sin (x)}{3 \cos (x)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0 + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0 + 0}{\cos (0)}$

Этап 8.1.2

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Этап 8.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 8.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 8.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$