Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 2.2

Объединим $\ln (\sin (x))$ и $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 3

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 4

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Этап 4.3.2

Вычтем $π$ из $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Этап 4.3.3

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Этап 4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Этап 4.6

Так как выражение $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 5

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Этап 6

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Этап 6.2

Поскольку функция $\ln (\sin (x))$ стремится к $- \infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $- \infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Этап 6.2.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (\sin (x))$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Этап 6.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Этап 6.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Этап 6.3.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Этап 6.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Этап 6.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Этап 6.5.1.2

Вычтем $π$ из $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Этап 6.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- \infty}{π}$

Этап 6.5.3

Бесконечность, деленная на любое конечное ненулевое число, есть бесконечность.

$- - \infty$

Этап 6.5.4

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty$

Этап 7

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$